☛ ** Trois points sont-ils alignés ?

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on considère les points \(\text{A}(-3;-7)\), \(\text B(2;8)\) et \(\text C (17;53)\).
Les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont-ils alignés ?

Solution

Dire que les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés revient à dire que le point \(\text C\) appartient à la droite \((\text{AB})\).
Le vecteur \(\overrightarrow{\text{AB}} \begin{pmatrix} 5\\ 15\\ \end{pmatrix}\) est un vecteur directeur de la droite \((\text{AB})\).
De plus, on a \(\overrightarrow{\text{AC}} \begin{pmatrix} 20\\ 60\\ \end{pmatrix}\).

Ainsi, on a \(\text{det}\left(\overrightarrow{\text{AB}}; \overrightarrow{\text{AC}} \right) = 0\).
Donc les vecteurs \(\overrightarrow{\text{AB}}\) et \(\overrightarrow{\text{AC}}\) sont colinéaires.

Par conséquent, les points \(\text A\), \(\text B\) et \(\text C\) sont alignés.